Dogum Gunu Paradoksu
Olasilik teorisi der ki "rastgele secilmis 23 kisi veya daha fazlalik bir grupta, en az iki kisinin dogum gununun ayni olma
olasiligi %50'dir. Ayni sekilde 60 veya daha fazla insan icin bu olasilik yaklasik %99'dur. 366 kisiye kadar bu olasilik %99'dan
faladir, ancak 366 kiside bu olasilik %100 olur. Aslinda bu bir paradoks degildir, matematiksel olarak gosterilebilir. Ancak insan
icgudusu bunun boyle olamayacagini soyledigi icin, matematiksel gercekle celisir ve bu problem "dogum gunu paradoksu" adini alir.
Bir cok insan bu olasiligin cok daha dusuk olacagini dusunur. Dogum gunu paradoksunu hesaplamak icin kullanilan matematik
aslinda kriptocular tarafindan iyi bilinen "dogum gunu saldirisi"nda kullanilan metodun ta kendisidir.
Paradoksu Anlamak
Olaya aslinda bir kombinasyon problemi olarak bakabiliriz. 23 kisinin bulundugu bir grupta olusturulabilecek ikili gruplarin sayisi
aslinda C(23,2) = 23 × 22/2 = 253'dur. Her bir ikili potansiyel olarak aradigimiz esitligi saglayabilir. Bu acidan bakinca da dogum
gunleri ayni gune denk gelen an az bir ikilinin bulunmama olasiligi dusuk gozukuyor.
Bu problemi daha iyi anlamanin bir yoluda iki insanin ayni dogum gununu paylasmama olasiligini dusunmektir. Birinci kisinin dogum
gununun ikinci kisiden farkli olmasi, ucuncu kisiden, dorduncu kisiden, ... vesair farkli olmasi olasiligi kactir? Odadaki
insan sayisi teker teker arttikca birinci kisinin dogum gununun yeni gelen kisiyle ayni olmamasi olasiligi dusmektedir.
Dogum gunu paradoksunda sorulan soru sudur: 23 kisiden herhangi birinin dogum gunu ayni gruptaki herhangi baska biriyle ayni midir?
Burada ozellikle bir kisinin dogum gununun diger secilmis kisiyle ayni olmasi olasiligindan bahsetmiyoruz.
Olasiligin Hesaplanmasi
Olasilik hesabini yaparken yilin yum gunlerinin esit olasilik dagilimina sahip oldugunu dusunecegiz(subat ayinin ozel durumu, mevsimsel
degisimler, haftanin gunlerindeki kaymalar vs. goz ardi edilecek). Gercekte yilin her gunu diger gunlerle ayni olasiliga sahip
degildir, fakat hesaplama isini kolaylastirmak icin bu varsayimi yapiyoruz.
Aslinda tüm "n" dogum gunlerinin farkli olmasi olasiligini hesaplamak kolaydir. n>365 oldugunda bu olasilik
sifirdir. n=365 icinse bu olasilik asagidaki formulle hesaplanabilir;
"n" insan arasinda en az iki kisinin ayni dogum gunune sahip olmasi olasiligi tum "n" dogum gunlerinin farkli olmasi olasiliginin
tamlayanina esittir.
Bu durumda p(n) asagidaki gibi hesaplanir;
Bu olasilik n=23 oldugunda 1/2'ye (%50.7) yaklasir. Asagidaki tablo "n" in degisik degerleri icin olasiliklari gostermektedir.
n p(n)
10 12%
20 41%
30 70%
50 97%
100 99.99996%
200 99.9999999999999999999999999998%
300 (1 - 7×10-73) × 100%
350 (1 - 3×10-131) × 100%
366 100%
Yorumlar
Yorum Gönder